Álgebra de matrices y determinantes

Conceptualización

El estudio de las ecuaciones lineales y vectoriales desemboca en el álgebra de matrices, como un método de análisis para el manejo de los datos que facilita su entendimiento y aplicaciones. Por ende, será necesario aterrizar los conceptos y definir sus objetivos.

Lo primero a considerar es que las matrices y los determinantes son elementos distintos entre si, pero que son de gran utilidad para el procedimiento algebraico. Por un lado, las matrices se pueden representar como tablas que contienen cantidades que pueden modificarse entre sí.

En las tablas bidimensionales o matrices, se escriben variables pertenecientes a ecuaciones lineales. Dicho de otra manera, las matrices son tablas que contienen filas y columnas, mismas que representan valores, como variables para una ecuación.

Una sola matriz puede contener varias filas y columnas, m y n respectivamente, Al juego que desempeñan se le llama mxn.

Un ejemplo de matriz puede ser el siguiente:

A (es decir, matriz A) = 1 4
6 7

Esta representación de valores o variables suele expresarse entre corchete que refiera a la operación matemática.

En el caso de ejemplo, es visible la existencia de dos columnas (1 y 6, y 4 y 7), que se expresan de manera vertical, y dos filas (1 y 4, y 6 y 7), que se muestran de manera horizontal. Estas cantidades pueden estar en juego todo el tiempo dependiendo de la operación de interés. En este caso, su tamaño es 2 x 2. Conforme se añade una fila o columna, irá también definiéndose su tamaño: 2 x 2, 3 x 4, 3 x 2.

Es importante reconocer la importancia que tienen el diseño de matrices para el buen tratamiento de bases de datos. Por ende, esta herramienta para operaciones lineales o vectoriales es vital para modificar y medir valores distintos y conocer sus posibles resultados.

Operaciones con matrices

Las matrices se caracterizan principalmente por la facilidad que dan al tratamiento de información. Pero incluso esto implica que cada matriz puede relacionarse con otra, incluyendo las cantidades que se encuentran en su interior. Por esto será necesario abordar las operaciones entre matrices y las particularidades de los determinantes.

Si bien una matriz es la reunión de un conjunto de datos específicos, puede compararse con otras matrices y ser parte de una operación, según sean los propósitos. Por ejemplo, es posible realizar las siguientes operaciones:

Sumas y restas

A= 1 3 + B= 4 5

5 7 9 2

No existe una forma de sumar matrices de distintos tamaños, por lo que deberán tener las mismas dimensiones. En estos casos, la regla de operación es sumar los elementos que estén en la misma posición. En el ejemplo anterior:

1 + 4= 5,
3 + 5 = 8,
5 + 9 = 14
7 + 2= 9

Los resultados generan una nueva matriz con los resultados obtenidos, generando:

C= 5 8
14 9

Producto

También existen los productos por número real, en el que una cantidad se multiplica a los componentes de la matriz, por ejemplo:

5 (A= 4 10 -1 2)

Al multiplicar la cantidad por cada elemento y ubicarlo también en el lugar correspondiente, se obtiene una segunda matriz:

B= (20 50 -5 10)

Veremos que las determinantes son operaciones aplicables a las matrices con la finalidad de hacer cálculos de ecuaciones lineales, o bien para matrices inversas. En el caso de un tamaño de 2 x 2, el determinante es de la siguiente manera:

A= 3 5
5 6

Entonces, se realiza una operación diagonal:

3 x 6 - 5 x 5= 18 - 25= -7

Dicho de otro modo, el det (A)= -7, y es una cantidad que puede facilitar el cálculo de rango o la inversa de la matriz. Las propiedades que remiten a este proceso son:

Si una línea contiene cero, el determinante será cero.
Si la matriz tiene dos líneas iguales, el determinante también es cero.
Al permutar columnas, el determinante solo cambia de signo.
Si se multiplica toda una línea por un número diferente a cero, el determinante de la matriz también se multiplicará por esa cantidad.

Los determinantes juegan un papel importante en el cálculo de las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y en la inversión de matrices, mientras que las matrices son fundamentales en la representación de transformaciones lineales y en el análisis de sistemas dinámicos.

Los determinantes también se utilizan para calcular la inversa de una matriz, lo cual es esencial en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en la diagonalización de matrices, entre otras aplicaciones.

Las operaciones con matrices incluyen:

Suma de matrices: se realiza sumando los elementos correspondientes en cada posición de las matrices

Resta de matrices: se realiza restando los elementos correspondientes en cada posición de las matrices

Multiplicación de matrices: se realiza mediante el producto de punto de los elementos de cada fila de una matriz con los elementos de cada columna de la otra matriz

Producto escalar: se realiza multiplicando cada elemento de una matriz por un escalar

Transpuesta: se obtiene intercambiando las filas por las columnas

Determinante: es un escalar que se utiliza para determinar si una matriz es invertible o no

Inversa: es una matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, da como resultado la matriz identidad

Potencia: se realiza multiplicando una matriz varias veces por sí misma

Determinantes, propiedades y reglas

Una rama de relevancia dentro de las matemáticas es el Álgebra de matrices y determinantes, la cual tiene como objetivo el estudio de las propiedades y las operaciones que se pueden realizar con matrices y determinantes.

El Álgebra de matrices y determinantes es una herramienta fundamental en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática, entre otras disciplinas. Entre las operaciones más importantes que se pueden realizar con matrices se incluyen la suma, la resta, la multiplicación, la transposición, la inversión y la diagonalización, mientras que entre las propiedades más relevantes de los determinantes se encuentran la linealidad, la propiedad de alternancia y la relación con los valores propios de las matrices.

En general, el Álgebra de matrices y determinantes es una herramienta poderosa para resolver problemas y modelar situaciones en las que se presentan relaciones lineales entre variables o elementos.

Para concluir con la revisión de las matrices y los determinantes, como formas de expresión y análisis de elementos o variables, será necesario abordar sus aplicaciones en situaciones reales.

Al considerarse las matrices como tablas de ordenamiento de bases de datos, su uso es ideal para las siguientes situaciones:

Construcción: en espacios amplios en los que se requiera saber la medida de ciertos lados, pero únicamente se conozca el total del espacio y la diferencia entre uno y otro extremo
Economía: las matrices son efectivas para estructurar, interpretar o brindar soluciones a sistemas productivos
Geografía: conocer las distancias entre distintos puntos o regiones
Bancos: al emplearse programas para el control de usuarios, se necesita un sistema que permite registrar y controlar todas las operaciones realizadas por cada cliente, en tiempo y forma
Salud: también es posible emplear un sistema de matrices para ubicar la manera en que se desplazaría una enfermedad muy contagiosa entre una población determinada

Si bien sus aplicaciones son grandes, hay que considerar que a veces no son requeridas por el grado de complejidad que aparentan, no tanto que representan, pero que permiten comprender mejor un problema común, los elementos que lo conforman y la relación estructural que comparten dichos elementos.

Aplicaciones

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: las matrices y los determinantes se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera eficiente y rápida

Transformaciones lineales: el Álgebra de matrices se utiliza en la representación de transformaciones lineales, lo que es esencial en áreas como la geometría computacional, la graficación y la robótica

Física y química: el Álgebra de matrices se utiliza en la física y la química para modelar y analizar sistemas complejos, como la mecánica cuántica y la termodinámica

Ingeniería y ciencia de la computación: el Álgebra de matrices se utiliza en la ingeniería y la ciencia de la computación para resolver problemas como el control de sistemas, el procesamiento de señales y el aprendizaje automático

Estadística y economía: el Álgebra de matrices se utiliza en la estadística y la economía para analizar y modelar datos, y para resolver problemas de optimización

Las propiedades de los determinantes de matrices tienen varias aplicaciones importantes, algunas de las cuales son:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: el uso del determinante de una matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales, ya que permite determinar si un sistema tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución

Cálculo del volumen: el determinante de una matriz se utiliza para calcular el volumen de un paralelepípedo o un sólido de revolución en tres dimensiones

Transformaciones lineales: el determinante de una matriz se utiliza para calcular el factor de escala de una transformación lineal, lo que es esencial en áreas como la geometría computacional y la graficación

Análisis estadístico: el determinante de una matriz se utiliza en la estadística para calcular la varianza y la covarianza de un conjunto de datos

Física y química: el determinante de una matriz se utiliza en la mecánica cuántica para calcular la probabilidad de transición entre estados y en la termodinámica para calcular la entalpía y la entropía de un sistema

Referencias

Páez, C. (2013). Matrices y sistemas lineales. Instituto Tecnológico de Costa Rica.

Rendón, A., Rodríguez, J. y Morales, A. (1998). Introducción al Álgebra lineal de matrices. Aplicación con Excel. Universidad Autónoma Metropolitana. https://galois.azc.uam.mx/mate/LIBROS/MORALES_ALQUICIRA_ANDRES_Introduccion_al_algebra_lineal_y_de.pdf

Benavides, W. (2012). Manual de matrices y determinantes. Universidad Politécnica Salesiana. https://dspace.ups.edu.ec/bitstream/123456789/5644/1/Manual%20de%20Matrices%20y%20Determinantes.pdf

Lombardo, C. (2019). Álgebra A. Eudeba. https://elibro-net.talisis.remotexs.co/es/lc/unid/titulos/153596

Pressman, R., y Maxim, B. (2021). Ingeniería de software. Un enfoque práctico (9ª ed.). McGraw-Hill Interamericana.