Sistemas de ecuaciones lineales

Conceptualización e importancia

Las ecuaciones lineales, también conocidas como ecuaciones simultáneas, son ocupadas en diferentes ámbitos como la física, economía, ingeniería, etc., ya que son un modelo que da pie a una aproximación de una situación real. Estas ecuaciones tienen su origen en las civilizaciones antiguas como los babilonios, griegos y chinos.

En el campo de la ingeniería de software, el objetivo principal de conocer los sistemas de ecuaciones lineales es poder desarrollar software eficiente y escalable, con un correcto rendimiento y adaptabilidad. Algunos objetivos específicos de los sistemas de ecuaciones lineales en ingeniería de software son:

Análisis de rendimiento: los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para modelar y analizar el rendimiento de los sistemas de software, lo que permite a los ingenieros de software optimizar el rendimiento del sistema y detectar cuellos de botella.

Control de sistemas: los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para controlar y regular el comportamiento de los sistemas de software, lo que permite al sistema responder adecuadamente a los cambios en el entorno y cumplir con los requisitos del usuario.

Machine learning: los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta esencial en el campo del aprendizaje automático, ya que se utilizan para entrenar y evaluar modelos de aprendizaje automático.

Procesamiento de señales: los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta importante en el procesamiento de señales, ya que se utilizan para modelar y analizar señales de audio, vídeo, imágenes y otros tipos de datos.

Optimización: los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para resolver problemas de optimización, como el problema de asignación de recursos y el problema de programación lineal.

El conocimiento de los sistemas de ecuaciones lineales es esencial para los ingenieros de software para poder desarrollar software eficiente y escalable, con un correcto rendimiento y adaptabilidad, además de poder resolver problemas de optimización y modelado matemático.

Las ecuaciones son la base de las matemáticas, permiten resolver problemas de la vida cotidiana en un ejemplo más palpable con un lenguaje algebraico para así obtener una solución. Se pueden identificar algunos ejemplos a la hora de hacer cuentas para comprar un artículo, al calcular cuánto tiempo se hará de traslado o en la elaboración de un presupuesto, pero, muchas veces, no se es consciente del cálculo algebraico realizado.

En conclusión, las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones lineales permiten resolver problemas en una variedad de campos, como la mecánica estructural, la termodinámica, la electricidad y la electrónica, el aprendizaje automático, el procesamiento de señales, entre otros, así como modelar y analizar sistemas, lo que permite tomar decisiones informadas y optimizar el rendimiento de estos.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales requieren de un trabajo cuidadoso para su resolución, ya que el objetivo es encontrar las incógnitas, por ese motivo a lo largo de los años se han descubierto varias formas de encontrar los datos faltantes y así descubrir la solución del problema.

El objetivo de este tema es analizar diferentes métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales para identificar cual es el mas apropiado con el fin de utilizarlo en la socluion de problemas algebraicos.

Encontrar la solución de un problema con un sistemas de ecuaciones lineales consiste en hallar valores de las variables ax1,a2,a3... dependiendo de la ecuación, por tanto, existen diferentes maneras de resolver una ecuación con dos incógnitas las cuales son mencionadas a continuación:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:

Despejar una incógnita, se despeja una incógnita en términos de otra incógnita.
Sustituir, se sustituye la expresión del paso anterior para obtener una ecuación con un incógnita y se despeja esa incógnita.
Sustituir a la inversa en la expresión hallada en el paso 1, se sustituye el valor hallado en el paso 2 para despejar la incógnita restante.

MÉTODO POR ELIMINACIÓN

Ajustar coeficientes, multiplicar una o mas de las ecuaciones por números apropiados.
Sumar ecuaciones, sumar las dos ecuaciones para eliminar la incógnita y despejar la incógnita.
Sustituir a la inversa, en una ecuación original se sustituye el valor hallado en el paso 2 y se despeja la incógnita restante.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones
Se igualan las expresiones para obtener una sola ecuación
Se resuelve la ecuación y el valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales.

MÉTODO GRÁFICO

Graficar cada ecuación
Hallar los puntos de intersección.

Estos métodos de resolución de ecuaciones lineales requieren de un procedimiento elaborado.

Métodos de solución e importancia

Al traspasar un sistema de ecuaciones a un gráfica, esta puede tomar distintas formas, ya sean rectas, tangentes, paralelas e incluso una fusión de estas, cada resultado tiene una interpretación diferente, el cual permite una lectura más rápida de las soluciones que pueden representar el sistema.

Veremos que si se grafican las ecuaciones que conforman el sistema de ecuaciones con dos incógnitas se obtendrán dos lineas, las cuales pueden coincidir o no, dependiendo de su forma se podrán interpretar de diferente manera.

RECTA SECANTE; cuando las lineas se unen en algún punto de la grafica, sígnica que le sistema de ecuaciones tiene solución, o sea, es un sistema compatible determinado.
RECTAS PARALELAS: cuando al graficar las lineas no tienen un punto de union se traduce en un sistema que no tiene solución, o sea, un sistema incompatible.
UNA SOLA LINEA: Si al graficar ambas rectas coinciden entre sí (se enciman) entonces quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, es un sistema compatible indeterminado.
UNA SOLA LINEA: las tres líneas se unen por tanto tiene soluciones infinitas
RECTAS SIN PUNTO EN COMÚN: Las tres líneas no se unen en algún punto por tanto no hay solución.

Interpretación geométrica y aplicaciones

La interpretación geométrica e un sistema de ecuaciones lineales se refiere a la representación grafica de las soluciones del sistema en un plano cartesiano. Cada ecuación del sistema se representa como una recta o un plano en el espacio, y las soluciones del sistema son los puntos que se encuentran en la intersección de las rectas o planos.

Si el sistema tiene una solución única, entonces las rectas o planos se cruzan en un solo punto. Si el sistema no tiene solución, entonces las rectas o planos son paralelas y no se cruza. Si el sistema tiene infinitas soluciones, entonces las rectas o planos son coincidentes.

La interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales tienen varias aplicaciones en diferentes campos, algunas de las cuales son:

Cálculo Vectorial: se utiliza para representar y resolver problemas relacionados con vectores y ecuaciones vectoriales
Algebra Lineal: se utiliza para representar y resolver problemas relacionados con matrices y transformaciones lineales
Ingeniería: Se utiliza para resolver problemas relacionados con estructuras, mecánica, eléctrica y electrónica.
Física: Se utiliza para resolver problemas relacionados con movimiento, dinámica, electromagnetismo y mecánica cuántica.
Economía: se utiliza para representar y resolver problemas relacionados con maximización de beneficios y minimización de costos.
Estadística: se utiliza para representar y resolver problemas relacionados con regresión y análisis de datos.
Geometría: se utiliza para representar y resolver problemas relacionados con figuras y transformaciones geométricas.
Análisis de datos: la representación grafica de los sistemas de ecuaciones lineales puede ser útil para visualizar y comprender la relación entre variables en un conjunto de datos.
Optimización: la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales se utiliza en la optimización lineal, donde se busca encontrar el valor máximo o mínimo de una función lineal sujeta a ciertas restricciones.

un ejemplo de interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales es la siguiente:

2x + 3y = 6

-x + 2y = 1

Este sistema de ecuaciones puede representarse gráficamente mediante dos rectas en un plano cartesiano. La primera ecuación se representa mediante la recta:

2x + 3y = 6

La segunda ecuación se representa mediante la recta:

-x + 2y = 1

Las soluciones del sistema son los puntos que se encuentran en la intersección de ambas rectas. Si graficamos estas rectas en el plano cartesiano, se puede ver que las rectas se cruzan en un punto, (x, y) = (2,1), este punto es la solución del sistema y es único.

En resumen, si se tiene un sistema de ecuaciones lineales se puede representar gráficamente como rectas en un plano cartesiano, y las soluciones del sistema se corresponden con los puntos de intersección de esas rectas.

Otro ejemplo sería el siguiente sistema de ecuaciones:

3x - 2y = 6

3x - 2y = 9

Ambas ecuaciones representan la misma recta en el plano cartesiano, por lo que no tienen soluciones, lo cual quiere decir que no tienen puntos de intersección, y por tanto no existe una solución para este sistema de ecuaciones. Esto se debe a que las dos ecuaciones son equivalentes, y una sola recta no puede cruzarse a sí misma.

En este caso, el sistema no tiene solución, ya que las rectas son coincidentes y no se cruzan. Esto se conoce como sistema inconsistente.

En resumen, la representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales proporciona una forma visual de comprender la relación entre las variables y cómo los valores de estas variables afectan el sistema en su conjunto, además permite identificar patrones y establecer relaciones entre variables que pueden ser útiles en la toma de decisiones y en la investigación.

Referencias

Lehmann, C. (2004). Álgebra. Editorial Limusa. https://pdfcoffee.com/algebra-charles-h-lehmann-1edpdf-5-pdf-free.html
Ramírez, L. (2011). Álgebra. Grupo Editorial éxodo. https://elibro-net.talisis.remotexs.co/es/ereader/unid/130350?page=250

Sánchez, R. (2015). Álgebra. Grupo Editorial Patria. https://elibro-net.talisis.remotexs.co/es/ereader/unid/40393?page=456